New insights into the feature maps of Sobolev kernels: application in global sensitivity analysis - CEA - Commissariat à l’énergie atomique et aux énergies alternatives Access content directly
Preprints, Working Papers, ... Year : 2023

New insights into the feature maps of Sobolev kernels: application in global sensitivity analysis

Abstract

As part of the study of an input-output numerical simulator, performing a sensitivity analysis allows to identify the input parameters having the greatest influence on the output variability. Since the variance-based approach (also known as the ANOVA framework) is too expensive, and the kernel-based approach (leading to HSIC indices) lacks interpretability, the HSIC-ANOVA framework has recently emerged to marry the advantages of both. A major particularity of this new methodology is the need to use the unanchored Sobolev kernels. This paper investigates how sensitivity is measured according to the chosen Sobolev kernel. To achieve this, at least one explicit feature map is extracted from each Sobolev kernel and this helps identify the dependence patterns captured by HSIC-ANOVA indices. For the Sobolev kernel of order r = 1, three different proof techniques are proposed to disclose its Mercer feature map. For higher-order Sobolev kernels (r ≥ 2), it is proved that the Mercer feature map does not have a closed-form expression. In response, a slightly relaxed feature map is obtained after considering a sub-kernel decomposition. This latter feature map allows to justify why the Sobolev kernels of order r ≥ 2 should not be used to estimate HSIC-ANOVA indices.
Lors de l'étude d'un modèle numérique, la réalisation d'une analyse de sensibilité permet d'identifier les paramètres d'entrée les plus influents sur la sortie. Comme les méthodes basées sur le partage de la variance (approche ANOVA) sont trop coûteuses, et que les méthodes à noyaux (approche HSIC) sont difficiles à interpréter, la méthode HSIC-ANOVA a récemment vu le jour pour combiner leurs avantages respectifs. Une particularité majeure de cette méthode HSIC-ANOVA est l'utilisation d'une famille très spécifique de noyaux de Sobolev. Ce papier s'intéresse à la manière dont la sensibilité est mesurée selon le choix du noyau de Sobolev. Pour cela, on extrait de chacun des noyaux de Sobolev au moins une feature map car la connaissance des features aide ensuite à comprendre les motifs de dépendance qui sont capturés par les indices HSIC-ANOVA. Pour le noyau de Sobolev d'ordre r = 1, on propose trois techniques de preuve pour retrouver la feature map de Mercer de ce noyau. Pour les noyaux de Sobolev d'ordre supérieur (r ≥ 2), on démontre que la feature map de Mercer n'a pas d'expression explicite. Une feature map d'un autre type est alors obtenue en considérant une décomposition des noyaux de Sobolev en plusieurs sous-noyaux. Cette feature map révèle notamment qu'il ne faut pas estimer les indices HSIC-ANOVA avec un noyau de Sobolev d'ordre r ≥ 2.
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Sobolev kernels for GSA - Sarazin et al - Version_HAL-202311-29.pdf (1007.74 Ko) Télécharger le fichier
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Dates and versions

cea-04320711 , version 1 (04-12-2023)

Identifiers

  • HAL Id : cea-04320711 , version 1

Cite

Gabriel Sarazin, Amandine Marrel, Sebastien da Veiga, Vincent Chabridon. New insights into the feature maps of Sobolev kernels: application in global sensitivity analysis. 2023. ⟨cea-04320711⟩
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