Last passage percolation on complete directed acyclic graphs
Percolation de dernier passage sur les graphes acycliques orientés complets
Résumé
This thesis focuses on last-passage percolation on complete directed acyclic graphs. We study the maximal weight of a path in a complete graph where the edges are assigned random weights, and where the weight of a path is the sum of the weights of its edges. More precisely, we study the "time constant", which asymptotically represents the maximal weight of a path divided by the number of vertices in the graph, when the number of vertices goes to infinity. We will explore various properties of this time constant seen as a function of the distribution of the edges weights, such as strict monotonicity, continuity, and analyticity. A notable case is when the edge weights are either equal to 1 or m with respective probabilities p and 1-p. For m>0, the time constant is a rational fraction of p. For m=0, it corresponds to the inverse of a Ramanujan theta function. For negative m, there is no known closed formula, but we will provide an analytical formula in this specific case. For m=-∞, we will disprove a conjecture by Mallein and Ramassamy regarding the Taylor series expansion of this time constant. When m=-∞, last-passage percolation is equivalent to the infinite bin model, a model introduced by Foss and Konstantopoulos. In the last chapter, we will study a hydrodynamic limit of the infinite bin model. For this deterministic hydrodynamic limit, the time constant is explicit. We will show that the parameter space of the model is divided into regions indexed by combinatorial objects. On each region, the time constant is a rational function of the model parameters.
Cette thèse porte sur la percolation de dernier passage sur des graphes complets acycliques orientés. Ce problème consiste en l'étude du poids maximal d'un chemin dans un graphe complet où les arêtes sont pondérées par des poids aléatoires, et où le poids d'un chemin consiste en la somme des poids de ses arêtes. Notre travail porte sur la "constante de temps", représentant asymptotiquement le poids maximal d'un chemin divisé par le nombre de sommets du graphe, lorsque le nombre de sommets dans le graphe est grand. Nous étudierons différentes propriétés de cette constante de temps vue en tant que fonction de la distribution des poids des arêtes, telles que la stricte monotonie, la continuité et l'analyticité. Un cas notable est lorsque les poids des arêtes valent soit 1 ou m avec probabilités respectives p et 1-p. Pour m>0, la constante de temps est une fonction rationnelle de p. Pour m=0, elle correspond à l'inverse d'une fonction thêta de Ramanujan. Il n'existe pas de formule close connue pour m<0, mais nous donnerons une formule analytique dans ce cas précis. Dans le cas m=-∞, on réfutera une conjecture de Mallein et Ramassamy concernant le développement de Taylor de cette constante de temps. Enfin, nous étudierons une limite hydrodynamique de l'infinite bin model, un modèle introduit par Foss et Konstantopoulos qui est équivalent à la percolation de dernier passage pour m=-∞. Pour cette limite hydrodynamique déterministe, la constante de temps est explicite. On montrera que l'espace des paramètres du modèle se divise en régions indexées par des objets combinatoires. Sur chaque région, la constante de temps est une fonction rationnelle des paramètres du modèle.
Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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