Braids in Low-Dimensional Hamiltonian Dynamics
Tresses en dynamique hamiltonienne de basse dimension
Abstract
In this thesis we study Hamiltonian systems using the topology of their closed orbits. The results we present deal, on the one hand, with properties of the generating functions associated with a particular Hamiltonian diffeomorphism, and on the other hand, with the Hofer distance between two diffeomorphisms that realise braids of different types. In the first context, we will rely on results by Patrice Le Calvez to show that any (up to stabilisation) generating function of a Hamiltonian diffeomorphism with compact support in the plane admits a filtration into the second tensor power of the Morse complex. By “linking filtration” we mean a filtration which associates an integer with any pair of critical points, and such when the two points are distinct the associatedvalue is exactly the linking number of the two orbits corresponding to the critical points. It is possible to define such filtration in the context of Hamiltonian Floer theory as well, and to study its behaviour with respect to the product in homology. The author’s results in this direction are still unpublished. On the other hand, we consider the set of Hamiltonian diffeomorphisms with compact support of a surface with boundary which preserves a predetermined configuration of circles. We give estimates of the Hofer energy of such a diffeomorphism based on the complexity of a type of braid that we assign to each diffeomorphism in this class. The tool we use here is quantitative Heegaard-Floer theory, recently developed by Cristofaro-Gardiner, Humilière, Mak, Seyfaddini andSmith. The results in this direction are already contained in a work by the author, and in one in collaboration with Ibrahim Trifa.
Dans cette thèse nous étudions les systèmes hamiltoniens en nous appuyant sur la topologie de leurs orbites fermées. Les résultats présentés portent, d'un côté, sur des propriétés des fonctions génératrices associées à un difféomorphisme hamiltonien particulier, et de l'autre sur la distance d'Hofer entre deux difféomorphismes qui réalisent des tresses de types différents.Dans le premier contexte, on s'appuiera sur des résultats de Patrice Le Calvez pour montrer que toute fonction génératrice d'un difféomorphisme hamiltonien à support compact du plan (à stabilisation près) admet une filtration en enlacements dans la deuxième puissance tensorielle du complexe de Morse. Par "filtration en enlacements" nous entendons une filtration qui a toute paire de points critiques associe un nombre entier, et telle que lorsque les deux points sont distincts la valeur associée est exactement le nombre d'enlacement des deux orbites correspondantes aux points critiques. Il est possible de définir une telle filtration aussi dans le cadre de la théorie de Floer hamiltonienne, et d'étudier son comportement par rapport au produit en homologie. Les résultats de l'auteur dans cette direction n'ont pas encore été publiés.De l'autre côté, on considère l'ensemble de difféomorphismes hamiltoniens à support compact d'une surface à bord qui préservent une configuration de cercles prédéterminée. Nous donnons des estimations de l'énergie d'Hofer d'un tel difféomorphisme qui se basent sur la complexité d'un type de tresse que nous pouvons lui attribuer. L'outil utilisé ici est la théorie d'Heegaard Floer quantitative, récemment développée par Cristofaro-Gardiner, Humilière, Mak, Seyfaddini et Smith. Les résultat dans cette direction sont déjà contenus dans un travail de l'auteur, et dans une collaboration avec Ibrahim Trifa.
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