Cette thèse porte sur le développement d'algorithmes semi-numériques permettant l'évaluation d'approximations numériques à haute précision des périodes de variétés algébriques à partir des équations qui définissent lesdites variétés. Les périodes d'une variété algébrique projective lisse déterminent l'isomorphisme de de Rham entre la cohomology de de Rham et l'homologie singulière, et définissent un invariant continu fin de la variété en lien avec sa structure de Hodge. Dans de nombreux cas, des théorèmes de type Torelli montrent que les périodes caractérisent entièrement la classe d'isomorphisme de la variété — c'est par exemple le cas pour les surfaces K3. En particulier la connaissance d'approximations numériques suffisamment précises (de l'ordre de la centaine de chiffres significatifs) de ces périodes permet de retrouver des invariants géométriques fins de la variété, comme par exemple le rang de Picard et le corps d'endomorphismes pour les surfaces K3. Dans cette thèse, nous développons une méthode pour calculer de telles approximations numériques à partir des équations définissant la variété. Cette méthode repose sur la théorie de Picard-Lefschetz pour reconstruire une description des cycles d'intégration qui soient suffisamment explicites pour pouvoir évaluer ces intégrales. Nous implémentons ces méthodes pour le cas de hypersurfaces, des surfaces elliptiques et des recouvrements doubles de P2 ramifiés le long d'une courbe, ainsi que certaines variétés de Calabi-Yau de dimension 3. Nous utilisons ces méthodes pour explorer la phénoménologie de certains problèmes ouverts en symétrie miroir et en géométrie arithmétique.